24. В остроугольном треугольнике ACD проведены высоты АА1 и DD1. Докажите, что углы А₁AD и A1D1D равны.

Рассмотрим четырехугольник AA₁DD₁. Углы AA₁C и DD₁C прямые (так как AA₁ и DD₁ - высоты).

Сумма углов в четырехугольнике равна 360°, следовательно, сумма углов DAA₁ и ADD₁ равна 180° - (90° + 90°) = 180°.

Четырехугольник AA₁DD₁ является вписанным в окружность, так как сумма противоположных углов равна 180°.

Углы A₁AD и A₁D₁D опираются на одну и ту же дугу AD₁ окружности, описанной около четырехугольника AA₁DD₁.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, следовательно, углы A₁AD и A₁D₁D равны.

Что и требовалось доказать.