25. Две касающиеся внешним образом в точке D окружности, радиусы которых равны 6 и 18, вписаны в угол с вершиной А. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку D, пересекает стороны угла в точках В и С. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Пусть O₁ и O₂ - центры окружностей с радиусами 6 и 18 соответственно.

Пусть r - радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Проведем прямую AO₁O₂. Так как окружности вписаны в угол A, то их центры лежат на биссектрисе угла A.

Пусть прямая, проходящая через точку D и являющаяся общей касательной к окружностям, пересекает стороны угла A в точках B и C.

Треугольник ABC равнобедренный, так как AD - биссектриса и высота (общая касательная).

Опустим перпендикуляры O₁B₁ и O₂C₁ на стороны угла A. Тогда AO₁B₁ и AO₂C₁ - прямоугольные треугольники.

Пусть угол A равен 2α. Тогда угол O₁AB₁ равен α.

В прямоугольном треугольнике AO₁B₁: sin(α) = O₁B₁ / AO₁ = 6 / AO₁.

В прямоугольном треугольнике AO₂C₁: sin(α) = O₂C₁ / AO₂ = 18 / AO₂.

Так как sin(α) одинаков, то 6 / AO₁ = 18 / AO₂ => AO₂ = 3AO₁.

Также AO₂ = AO₁ + O₁O₂. O₁O₂ = r₁ + r₂ = 6 + 18 = 24.

Получаем AO₂ = AO₁ + 24 => 3AO₁ = AO₁ + 24 => 2AO₁ = 24 => AO₁ = 12.

Тогда AO₂ = 3 * 12 = 36.

sin(α) = 6 / 12 = 1/2. Значит α = 30°, и угол A равен 2α = 60°.

Так как треугольник ABC равнобедренный с углом 60°, то он равносторонний. AD - высота, биссектриса и медиана.

BD = CD. Рассмотрим треугольник AO₁B₁. tg(30°) = 6 / B₁O₁ => B₁O₁ = 6 / tg(30°) = 6√3. AB = 2 * B₁O₁ = 12√3.

Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника вычисляется по формуле: r = a / √3, где a - сторона треугольника.

r = (12√3) / √3 = 12 * √3 / √3 = 12.

Ответ: 12