24. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты $$AA_1$$ и $$CC_1$$. Докажите, что углы $$CC_1A_1$$ и $$CAA_1$$ равны.

Рассмотрим четырехугольник $$A_1BC_1C$$. Углы $$BA_1C$$ и $$BC_1C$$ прямые, значит, сумма углов $$BA_1C + BC_1C = 180^{\circ}$$. Тогда четырехугольник $$A_1BC_1C$$ является вписанным. Из этого следует, что угол $$CC_1A_1$$ равен углу $$CBA_1$$ (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $$CA_1$$). Теперь рассмотрим треугольник $$ABA_1$$. Угол $$AA_1B$$ прямой. Тогда угол $$CBA_1 = 90^{\circ} - $$ угол $$BAA_1$$. Угол $$CAA_1 = 90^{\circ} - $$ угол $$BAA_1$$. Следовательно, угол $$CBA_1 =$$ углу $$CAA_1$$. Из этого следует, что углы $$CC_1A_1$$ и $$CAA_1$$ равны. Что и требовалось доказать.