25. Середина M стороны AD выпуклого четырёхугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 36, а углы B и C четырёхугольника равны соответственно 91° и 149°.

Так как середина M стороны AD равноудалена от всех вершин четырехугольника ABCD, то MA=MB=MC=MD. Это означает, что вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность с центром в точке M и радиусом MA=MD. Тогда углы MAD и MDA равны, как углы при основании равнобедренного треугольника MAD. Пусть угол MAD = \$$\alpha\$$. Тогда углы BAM = \$$91^{\circ} - \alpha\$$ и DCM = \$$149^{\circ} - \alpha\$$. Так как MB = MA, то треугольник ABM равнобедренный. Угол ABM = углу BAM = \$$91^{\circ} - \alpha\$$. Аналогично, так как MC = MD, то треугольник CDM равнобедренный. Угол CDM = углу DCM = \$$149^{\circ} - \alpha\$$. Тогда углы ABC и BCD четырехугольника ABCD могут быть выражены следующим образом: Угол ABC = ABM + MBC, откуда MBC = ABC - ABM = $$91^{\circ} - (91^{\circ} - \alpha\)$$ = \$$\alpha\$$. Угол BCD = BCM + MCD, откуда BCM = BCD - MCD = $$149^{\circ} - (149^{\circ} - \alpha\)$$ = \$$\alpha\$$. Таким образом, треугольник MBC равнобедренный, так как углы MBC и MCB равны, то MB = MC = BC = 36. Так как MA = MD = MB = MC, то AD = 2*MA = 2*BC = 2*36 = 72. Ответ: 72.