#69 В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы.

Площадь полной поверхности призмы складывается из площади двух оснований и площади боковой поверхности:

\[S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}\]

Основание призмы - ромб. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

\[S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2\]

где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба.

В нашем случае, \(d_1 = 6\) и \(d_2 = 8\), следовательно:

\[S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\]

Площадь одного основания равна 24. Так как оснований два, то их общая площадь:

\[2S_{осн} = 2 \cdot 24 = 48\]

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы (боковое ребро). Периметр ромба можно найти, зная его диагонали.

Сторону ромба найдем по формуле:

\[a = \frac{1}{2} \sqrt{d_1^2 + d_2^2}\]

В нашем случае:

\[a = \frac{1}{2} \sqrt{6^2 + 8^2} = \frac{1}{2} \sqrt{36 + 64} = \frac{1}{2} \sqrt{100} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\]

Периметр ромба равен:

\[P = 4a = 4 \cdot 5 = 20\]

Площадь боковой поверхности равна:

\[S_{бок} = P \cdot h = 20h\]

где \(h\) - боковое ребро (высота) призмы.

Тогда полная площадь поверхности призмы:

\[S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 48 + 20h\]

Нам известно, что \(S_{полн} = 248\), поэтому можем найти \(h\):

\[248 = 48 + 20h\] \[20h = 248 - 48\] \[20h = 200\] \[h = \frac{200}{20} = 10\]

Ответ: 10

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найдена площадь основания, выражена площадь боковой поверхности через высоту, а затем найдена высота.

Уровень Эксперт: Запомни, что знание формул площадей и умение их применять - ключ к успеху в геометрии.