#69_ДЗ В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 16 и 30. Площадь ее поверхности равна 2588. Найдите боковое ребро этой призмы.

Площадь полной поверхности призмы складывается из площади двух оснований и площади боковой поверхности:

\[S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}\]

Основание призмы - ромб. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

\[S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2\]

где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба.

В нашем случае, \(d_1 = 16\) и \(d_2 = 30\), следовательно:

\[S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = 8 \cdot 30 = 240\]

Площадь одного основания равна 240. Так как оснований два, то их общая площадь:

\[2S_{осн} = 2 \cdot 240 = 480\]

Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы (боковое ребро). Периметр ромба можно найти, зная его диагонали.

Сторону ромба найдем по формуле:

\[a = \frac{1}{2} \sqrt{d_1^2 + d_2^2}\]

В нашем случае:

\[a = \frac{1}{2} \sqrt{16^2 + 30^2} = \frac{1}{2} \sqrt{256 + 900} = \frac{1}{2} \sqrt{1156} = \frac{1}{2} \cdot 34 = 17\]

Периметр ромба равен:

\[P = 4a = 4 \cdot 17 = 68\]

Площадь боковой поверхности равна:

\[S_{бок} = P \cdot h = 68h\]

где \(h\) - боковое ребро (высота) призмы.

Тогда полная площадь поверхности призмы:

\[S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 480 + 68h\]

Нам известно, что \(S_{полн} = 2588\), поэтому можем найти \(h\):

\[2588 = 480 + 68h\] \[68h = 2588 - 480\] \[68h = 2108\] \[h = \frac{2108}{68} = 31\]

Ответ: 31

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найдена площадь основания, выражена площадь боковой поверхности через высоту, а затем найдена высота.

Редфлаг: Внимательно проверь арифметические вычисления, чтобы избежать ошибок.