4. В основании пирамиды $$SABC$$ лежит равнобедренный треугольник $$ABC$$, в котором $$BC = 12$$ см, а $$AB = AC = 10$$ см. Найдите площадь сечения $$ASM$$, если оно перпендикулярно плоскости основания, а все боковые ребра пирамиды равны 10 см. а) $$3\sqrt{65}$$ см², б) $$5\sqrt{39}$$ см², в) 31 см², г) другой ответ.

Пусть $$AM$$ - высота треугольника $$ABC$$, тогда $$BM = MC = 6$$ см. По теореме Пифагора $$AM = \sqrt{AC^2 - MC^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$ см. Площадь треугольника $$ABC$$ равна $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$$ см².

Так как $$SA = SB = SC = 10$$, то основание высоты пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около треугольника $$ABC$$. Так как сечение $$ASM$$ перпендикулярно плоскости основания, то $$SM$$ - высота пирамиды. Пусть $$O$$ - центр описанной окружности. Тогда $$AO = R$$, где $$R$$ - радиус описанной окружности. $$R = \frac{abc}{4S} = \frac{10 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 48} = \frac{1200}{192} = \frac{25}{4} = 6.25$$ см.

По теореме Пифагора из треугольника $$SAO$$: $$SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{100 - (6.25)^2} = \sqrt{100 - 39.0625} = \sqrt{60.9375} \approx 7.8$$ см.

Площадь треугольника $$ASM$$ равна $$\frac{1}{2} \cdot AM \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{60.9375} = 4 \cdot \sqrt{60.9375} \approx 31.23$$ см².

Следовательно, ответ: в) 31 см².