4.В основании пирамиды РАВС лежит треугольник АВС, у которого АВ=4, угол АСВ=150°. Боковые рёбра наклонены к основанию под углом 45°. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

• Центр описанной окружности лежит вне треугольника, т.к. угол ACB тупой.
• Радиус описанной окружности найдем по теореме синусов: \[\frac{AB}{\sin{\angle ACB}} = 2R\] \[\frac{4}{\sin{150°}} = 2R\] \[\frac{4}{0.5} = 2R\] \[R = 4\]
• Высота пирамиды является катетом прямоугольного треугольника, где гипотенуза - боковое ребро, а угол между ними равен 45 градусам. Значит, высота равна радиусу, деленному на \(\sqrt{2}\).
• Так как угол наклона бокового ребра к основанию 45 градусов, то высота пирамиды равна радиусу описанной окружности, деленному на \(\sqrt{2}\).
• Тогда высота равна: \[H = \frac{R}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}\]