5. Основанием пирамиды DABC является прямоугольный треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ равна 29 см, катет АС равен 21 см. Ребро DA перпендикулярно плоскости основания и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

• Найдем катет ВС по теореме Пифагора: \[BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{29^2 - 21^2} = \sqrt{841 - 441} = \sqrt{400} = 20\]
• Площадь грани DAC: \[S_{DAC} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 21 = 210\]
• Площадь грани DAB: \[S_{DAB} = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 29 = 290\]
• DB является гипотенузой треугольника DAB: \[DB = \sqrt{DA^2 + AB^2} = \sqrt{20^2 + 29^2} = \sqrt{400 + 841} = \sqrt{1241}\]
• DC является гипотенузой треугольника DAC: \[DC = \sqrt{DA^2 + AC^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29\]
• Площадь грани DBC найдем по формуле Герона: \[p = \frac{DB + BC + DC}{2} = \frac{\sqrt{1241} + 20 + 29}{2} \approx 42.03\] \[S_{DBC} = \sqrt{p(p-DB)(p-BC)(p-DC)} = \sqrt{42.03(42.03-\sqrt{1241})(42.03-20)(42.03-29)} \approx 220.3\]
• Площадь боковой поверхности: \[S_{бок} = S_{DAC} + S_{DAB} + S_{DBC} = 210 + 290 + 220 = 720\]