Упростите выражение: (3a - 2)(3a + 2) - (3a + 1)² и найдите его значение при a = \( \frac{1}{12} \).

Решение:

1. Упростим выражение:

Сначала раскроем скобки, используя формулы разности квадратов \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \) и квадрата суммы \( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \).

\( (3a - 2)(3a + 2) = (3a)^2 - 2^2 = 9a^2 - 4 \)

\( (3a + 1)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 1 + 1^2 = 9a^2 + 6a + 1 \)

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное:

\( (9a^2 - 4) - (9a^2 + 6a + 1) \)

Раскроем скобки, меняя знаки у слагаемых во второй скобке:

\( 9a^2 - 4 - 9a^2 - 6a - 1 \)

Приведём подобные слагаемые:

\( (9a^2 - 9a^2) - 6a + (-4 - 1) = 0 - 6a - 5 = -6a - 5 \)

2. Найдем значение выражения при \( a = \frac{1}{12} \):

Подставим \( a = \frac{1}{12} \) в упрощённое выражение \( -6a - 5 \):

\( -6 \cdot \frac{1}{12} - 5 \)

Выполним умножение:

\( -\frac{6}{12} - 5 = -\frac{1}{2} - 5 \)

Выполним вычитание:

\( -0.5 - 5 = -5.5 \)

Можно также представить в виде обыкновенной дроби:

\( -\frac{1}{2} - \frac{10}{2} = -\frac{11}{2} \)

Ответ: \( -6a - 5 \); при \( a = \frac{1}{12} \) значение выражения равно \( -5.5 \) или \( -\frac{11}{2} \).