Упростить выражение: 1) 2p²q(3p - q) - pq(6q² - 2pq); 2) (a² - b)(a⁴ + a²b + b²) 3) (2a³b² - 5a²b³) : (3a²b²)

Решение:

1. \( 2p^2q(3p - q) - pq(6q^2 - 2pq) = (2p^2q \cdot 3p) + (2p^2q \cdot (-q)) - (pq \cdot 6q^2) - (pq \cdot (-2pq)) \)
2. \( = 6p^3q - 2p^2q^2 - 6pq^3 + 2p^2q^2 \)
3. Сгруппируем подобные члены:
4. \( 6p^3q + (-2p^2q^2 + 2p^2q^2) - 6pq^3 = 6p^3q - 6pq^3 \)
5. \( (a^2 - b)(a^4 + a^2b + b^2) \)
6. Это формула разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \)
7. В нашем случае, если предположить, что \( x = a^2 \) и \( y = b \), то выражение будет \( (x-y)(x^2+xy+y^2) \).
8. Однако, в данном выражении второй множитель \( a^4 + a^2b + b^2 \) не соответствует формуле разности кубов \( a^3-b^3 \).
9. Будем раскрывать скобки:
10. \( a^2(a^4) + a^2(a^2b) + a^2(b^2) - b(a^4) - b(a^2b) - b(b^2) \)
11. \( = a^6 + a^4b + a^2b^2 - a^4b - a^2b^2 - b^3 \)
12. Сгруппируем подобные члены:
13. \( a^6 + (a^4b - a^4b) + (a^2b^2 - a^2b^2) - b^3 = a^6 - b^3 \)
14. \( (2a^3b^2 - 5a^2b^3) : (3a^2b^2) = \frac{2a^3b^2}{3a^2b^2} - \frac{5a^2b^3}{3a^2b^2} \)
15. Упростим каждую дробь:
16. \( \frac{2}{3}a^{3-2}b^{2-2} - \frac{5}{3}a^{2-2}b^{3-2} = \frac{2}{3}a^1b^0 - \frac{5}{3}a^0b^1 = \frac{2}{3}a - \frac{5}{3}b \)

Ответ: 1) 6p³q - 6pq³; 2) a⁶ - b³; 3) \(\frac{2}{3}\)a - \(\frac{5}{3}\)b.