269. Укажите сумму и произведение корней квадратного уравнения (если они существуют): a) 2x² – 3x + 1 = 0; б) 3x² + x + 4 = 0; в) 1/3 x² + 1/2 x – 3 = 0; г) 1,4x² – 3x + 5/7 = 0; д) 0,1x² – 8x + 4,2 = 0; e) 3x² + 1,1x – 0,4 = 0.

Для квадратного уравнения вида $$ax^2 + bx + c = 0$$ сумма корней $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$$ и произведение корней $$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$. Дискриминант равен $$D = b^2 - 4ac$$. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

1. а) $$2x^2 - 3x + 1 = 0$$

   a = 2, b = -3, c = 1

   Сумма корней: $$x_1 + x_2 = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$$

   Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{2} = 0.5$$

2. б) $$3x^2 + x + 4 = 0$$

   a = 3, b = 1, c = 4

   Дискриминант: $$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1 - 48 = -47$$

   Т.к. D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

3. в) $$\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{2}x - 3 = 0$$

   $$a = \frac{1}{3}, b = \frac{1}{2}, c = -3$$

   Сумма корней: $$x_1 + x_2 = -\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = -\frac{1}{2} \cdot 3 = -\frac{3}{2} = -1.5$$

   Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-3}{\frac{1}{3}} = -3 \cdot 3 = -9$$

4. г) $$1.4x^2 - 3x + \frac{5}{7} = 0$$

   $$a = 1.4, b = -3, c = \frac{5}{7}$$

   Сумма корней: $$x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1.4} = \frac{3}{1.4} = \frac{30}{14} = \frac{15}{7} \approx 2.14$$

   Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{\frac{5}{7}}{1.4} = \frac{5}{7 \cdot 1.4} = \frac{5}{9.8} = \frac{50}{98} = \frac{25}{49} \approx 0.51$$

5. д) $$0.1x^2 - 8x + 4.2 = 0$$

   a = 0.1, b = -8, c = 4.2

   Сумма корней: $$x_1 + x_2 = -\frac{-8}{0.1} = \frac{8}{0.1} = 80$$

   Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{4.2}{0.1} = 42$$

6. e) $$3x^2 + 1.1x - 0.4 = 0$$

   a = 3, b = 1.1, c = -0.4

   Сумма корней: $$x_1 + x_2 = -\frac{1.1}{3} = -\frac{11}{30} \approx -0.37$$

   Произведение корней: $$x_1 \cdot x_2 = \frac{-0.4}{3} = -\frac{4}{30} = -\frac{2}{15} \approx -0.13$$

Ответ: а) 1,5 и 0,5; б) не имеет корней; в) -1,5 и -9; г) 15/7 и 25/49; д) 80 и 42; е) -11/30 и -2/15