267. Составьте квадратное уравнение, если известны его корни: а) 2 и √3; б) √3 и 5; в) √7 и −√7; г) 0 и 5; д) 1 - √2 и 1 + √2; е) 2 - √5 и 2 + √5.

Для составления квадратного уравнения, зная его корни, воспользуемся формулой:

$$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0$$, где $$x_1$$ и $$x_2$$ - корни уравнения.

1. а) Корни: 2 и $$\sqrt{3}$$.

   Сумма корней: $$2 + \sqrt{3}$$

   Произведение корней: $$2\sqrt{3}$$

   Уравнение: $$x^2 - (2+\sqrt{3})x + 2\sqrt{3} = 0$$

2. б) Корни: $$\sqrt{3}$$ и 5.

   Сумма корней: $$\sqrt{3} + 5$$

   Произведение корней: $$5\sqrt{3}$$

   Уравнение: $$x^2 - (5 + \sqrt{3})x + 5\sqrt{3} = 0$$

3. в) Корни: $$\sqrt{7}$$ и $$\- \sqrt{7}$$.

   Сумма корней: $$\,\sqrt{7} - \sqrt{7}= 0$$

   Произведение корней: $$\sqrt{7} \cdot (-\sqrt{7}) = -7$$

   Уравнение: $$x^2 - 0x - 7 = 0$$ или $$x^2 - 7 = 0$$

4. г) Корни: 0 и 5.

   Сумма корней: $$0 + 5 = 5$$

   Произведение корней: $$0 \cdot 5 = 0$$

   Уравнение: $$x^2 - 5x + 0 = 0$$ или $$x^2 - 5x = 0$$

5. д) Корни: $$1-\sqrt{2}$$ и $$1+\sqrt{2}$$.

   Сумма корней: $$(1-\sqrt{2}) + (1+\sqrt{2}) = 2$$

   Произведение корней: $$(1-\sqrt{2}) \cdot (1+\sqrt{2}) = 1 - 2 = -1$$

   Уравнение: $$x^2 - 2x - 1 = 0$$

6. е) Корни: $$2-\sqrt{5}$$ и $$2+\sqrt{5}$$.

   Сумма корней: $$(2-\sqrt{5}) + (2+\sqrt{5}) = 4$$

   Произведение корней: $$(2-\sqrt{5}) \cdot (2+\sqrt{5}) = 4 - 5 = -1$$

   Уравнение: $$x^2 - 4x - 1 = 0$$

Ответ: а) $$x^2 - (2+\sqrt{3})x + 2\sqrt{3} = 0$$, б) $$x^2 - (5 + \sqrt{3})x + 5\sqrt{3} = 0$$, в) $$x^2 - 7 = 0$$, г) $$x^2 - 5x = 0$$, д) $$x^2 - 2x - 1 = 0$$, е) $$x^2 - 4x - 1 = 0$$