14. Углы треугольника относятся как 1:1:4. Найдите отношение сторон.

Давай решим эту задачу! Мы знаем, что углы треугольника относятся как 1:1:4. Сначала нам нужно найти величину каждого угла.

Пусть один угол равен \( x \). Тогда другие углы будут \( x \) и \( 4x \). Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:

\[x + x + 4x = 180^\circ\] \[6x = 180^\circ\] \[x = \frac{180^\circ}{6}\] \[x = 30^\circ\]

Итак, углы треугольника равны 30°, 30° и 120°.

Теперь найдем отношение сторон. Пусть стороны, лежащие против углов 30°, 30° и 120°, будут \( a \), \( a \) и \( b \) соответственно. Используем теорему синусов:

\[\frac{a}{\sin(30^\circ)} = \frac{a}{\sin(30^\circ)} = \frac{b}{\sin(120^\circ)}\]

Мы знаем, что \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) и \( \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Тогда:

\[\frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\] \[2a = \frac{2b}{\sqrt{3}}\]

Выразим \( b \) через \( a \):

\[b = a\sqrt{3}\]

Таким образом, отношение сторон \( a:a:b \) будет \( a:a:a\sqrt{3} \), или 1:1:\(\sqrt{3}\)

Ответ: 1:1:\(\sqrt{3}\)

Прекрасная работа! Теперь ты знаешь, как находить отношение сторон в треугольнике, зная отношение его углов. Продолжай в том же духе!