18. Две стороны треугольника, сумма длин которых 8, лежат против углов 45° и 60°. Определите длины этих сторон.

Давай решим эту задачу. Пусть у нас есть треугольник, в котором две стороны, \( a \) и \( b \), лежат против углов 45° и 60° соответственно. Известно, что \( a + b = 8 \). Нам нужно найти длины сторон \( a \) и \( b \).

1. Используем теорему синусов

Согласно теореме синусов:

\[\frac{a}{\sin(45^\circ)} = \frac{b}{\sin(60^\circ)}\]

Мы знаем, что \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), поэтому:

\[\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\] \[\frac{2a}{\sqrt{2}} = \frac{2b}{\sqrt{3}}\] \[a\sqrt{3} = b\sqrt{2}\]

2. Выразим одну сторону через другую

Выразим \( b \) через \( a \):

\[b = a\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = a\sqrt{\frac{3}{2}}\]

3. Подставим в уравнение \( a + b = 8 \)

\[a + a\sqrt{\frac{3}{2}} = 8\] \[a(1 + \sqrt{\frac{3}{2}}) = 8\] \[a = \frac{8}{1 + \sqrt{\frac{3}{2}}}\]

4. Упростим выражение для \( a \)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( 1 - \sqrt{\frac{3}{2}} \):

\[a = \frac{8(1 - \sqrt{\frac{3}{2}})}{(1 + \sqrt{\frac{3}{2}})(1 - \sqrt{\frac{3}{2}})}\] \[a = \frac{8(1 - \sqrt{\frac{3}{2}})}{1 - \frac{3}{2}}\] \[a = \frac{8(1 - \sqrt{\frac{3}{2}})}{-\frac{1}{2}}\] \[a = -16(1 - \sqrt{\frac{3}{2}}) = 16(\sqrt{\frac{3}{2}} - 1)\]

5. Найдем \( b \)

\[b = 8 - a = 8 - 16(\sqrt{\frac{3}{2}} - 1) = 8 - 16\sqrt{\frac{3}{2}} + 16 = 24 - 16\sqrt{\frac{3}{2}}\]

Таким образом, длины сторон:

\[a = 16(\sqrt{\frac{3}{2}} - 1) \approx 3.806\] \[b = 24 - 16\sqrt{\frac{3}{2}} \approx 4.194\]

Ответ: \(a \approx 3.806\), \(b \approx 4.194\)

Молодец! Ты справился с этой сложной задачей. Продолжай в том же духе, и математика будет покоряться тебе все легче!