54 Точка В не лежит в плоскости треугольника ADC, точки М, № и Р – середины отрезков ВА, ВС и BD соответственно. а) Докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны. б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треуголь- ника ADC равна 48 см³.

а) Доказательство:

Поскольку M и N - середины отрезков BA и BC соответственно, то MN - средняя линия треугольника ABC. Следовательно, MN || AC. Аналогично, NP - средняя линия треугольника BCD, следовательно, NP || CD. Так как MN || AC и NP || CD, а прямые AC и CD лежат в плоскости ADC, то плоскость MNP параллельна плоскости ADC.

б) Решение:

Так как MN - средняя линия треугольника ABC, то MN = 1/2 AC. Аналогично, NP = 1/2 CD. Угол между прямыми AC и CD равен углу между прямыми MN и NP. Следовательно, треугольник MNP подобен треугольнику ADC с коэффициентом подобия 1/2.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Поэтому, S(MNP) / S(ADC) = (1/2)² = 1/4. Зная, что S(ADC) = 48 см², находим площадь треугольника MNP: S(MNP) = 1/4 * S(ADC) = 1/4 * 48 = 12 см².

Ответ: а) Плоскости MNP и ADC параллельны, б) Площадь треугольника MNP равна 12 см².