Точки МиТ лежат по одну сторону от прямой а. Найдите на этой прямой такую точку Р, чтобы сумма отрезков МР + РТ была наименьшей. Решение. 1) Дополнительное построение: проведём перпендикуляр из точки Т к а и отложим на его продолжении отрезок ОТ₁, такой, что ОТ₁ = ... . Соединим отрезком точки М и Т₁. На пересечении отрезка МТ₁ с прямой отметим точку Р. Докажем, что это искомая точка.

Решение.

1. Дополнительное построение: проведём перпендикуляр из точки T к a и отложим на его продолжении отрезок OT₁, такой, что OT₁ = OT.
2. ΔTOP = ΔT₁OP (по двум катетам: OP - общий, OT = OT₁ - по построению).
3. PT = PT₁, значит, PT + MP = PT₁ + MP (п. 2).
4. Сумма отрезков PT и MP будет наименьшей, когда точки M, P, T₁ лежат на одной прямой.
5. Значит, искомая точка есть пересечения отрезка MT₁ с прямой a.