120 - Медиана АМ треугольника АВС равна отрезку ВМ. Докажите, что один из углов треугольника АВС равен су гих углов.

Пусть AM - медиана треугольника ABC, и AM = BM. Так как AM - медиана, то BM = MC. Следовательно, AM = BM = MC. Обозначим ∠BAM = α, ∠MAC = γ, ∠B = β, ∠C = x.

Рассмотрим треугольник ABM. Так как AM = BM, то треугольник ABM - равнобедренный с основанием AB, следовательно, ∠BAM = ∠B = α.

Значит, ∠AMB = 180° - (∠BAM + ∠B) = 180° - 2α.

∠AMC - смежный с ∠AMB, следовательно, ∠AMC = 180° - ∠AMB = 180° - (180° - 2α) = 2α.

Рассмотрим треугольник AMC. Так как AM = MC, то треугольник AMC - равнобедренный с основанием AC, следовательно, ∠MAC = ∠C = γ.

Сумма углов треугольника AMC равна 180°, поэтому ∠AMC + ∠MAC + ∠C = 180°.

2α + γ + γ = 180°.

2α + 2γ = 180°.

α + γ = 90°.

В треугольнике ABC: ∠A = ∠BAM + ∠MAC = α + γ = 90°.

∠B = β = α, ∠C = γ

Значит, ∠В + ∠С = α + γ = 90°

И ∠A = ∠В + ∠С = 90°

Таким образом, ∠A = 90°, и он равен сумме двух других углов треугольника ABC.

Ответ: доказано, что один из углов треугольника АВС равен сумме двух других углов