3. Точки М и К – ортогональные проекции точек А и В на плоскость а. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью а, если АМ = 9, BK = 15, МК = 6.

Пусть АМ = 9, ВК = 15, МК = 6. Проведем АН || МК, где Н лежит на ВК. Тогда АН = МК = 6 и АН ⊥ АМ. Получим прямоугольный треугольник АВН. ВН = |ВК - АМ| = |15 - 9| = 6.

Тангенс угла между АВ и плоскостью α равен отношению противолежащего катета ВН к прилежащему АН. То есть, tg(α) = BH / AH = 6 / 6 = 1. Значит, α = arctg(1) = 45°.

Ответ: 45°

Проверка за 10 секунд: Вычисляем тангенс угла как отношение разности длин перпендикуляров к расстоянию между основаниями: tg(α) = (15-9)/6 = 1, откуда α = 45°.

Доп. профит: Редфлаг: Если AM = BK, то угол равен 45°, так как образуется равнобедренный прямоугольный треугольник.