5. Дан равносторонний треугольник АВС со стороной 8, в вершине В восстановлен перпендикуляр ВМ, равный √33. Найдите расстояние от точки М до прямой АС.

Пусть BD - высота в равностороннем треугольнике ABC. Тогда BD также медиана, и AD = DC = AC / 2 = 8 / 2 = 4.

Высоту BD найдем по теореме Пифагора из треугольника ABD: BD² = AB² - AD² = 8² - 4² = 64 - 16 = 48. BD = √48 = 4√3.

Так как BM перпендикулярен плоскости ABC, то BM перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку B. Следовательно, BM ⊥ BD.

Рассмотрим треугольник BMD: он прямоугольный, так как BM ⊥ BD. По теореме Пифагора, MD² = BM² + BD² = (√33)² + (4√3)² = 33 + 48 = 81. MD = √81 = 9.

Расстояние от точки M до прямой AC равно длине отрезка MD.

Ответ: 9

Проверка за 10 секунд: Вычисляем высоту равностороннего треугольника, затем находим расстояние от точки M до прямой AC по теореме Пифагора.

Доп. профит: Читерский прием: В равностороннем треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Это упрощает расчеты.