2161. Точки А, В, С, Д, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1:5:10:20. Найдите угол А четырёхугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Пусть x - коэффициент пропорциональности. Тогда дуги AB, BC, CD и AD равны x, 5x, 10x и 20x соответственно. Сумма градусных мер этих дуг равна 360°: $$x + 5x + 10x + 20x = 360°$$ $$36x = 360°$$ $$x = 10°$$ Таким образом, дуги AB, BC, CD и AD равны 10°, 50°, 100° и 200° соответственно. Угол A опирается на дугу BCD, которая состоит из дуг BC и CD. $$\angle A = \frac{1}{2} (дуга BC + дуга CD) = \frac{1}{2}(50° + 100°) = \frac{1}{2}(150°) = 75°$$ Ответ: 75°