2159. Точки А, В, С, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и AD, градусные величины которых относятся соответственно как 1:4:12:19. Найдите угол А четырёхугольника ABCD. Ответ дайте в градусах.

Пусть x - коэффициент пропорциональности. Тогда градусные меры дуг AB, BC, CD и AD равны x, 4x, 12x и 19x соответственно. Сумма градусных мер этих дуг равна 360°: $$x + 4x + 12x + 19x = 360°$$ $$36x = 360°$$ $$x = 10°$$ Таким образом, дуги AB, BC, CD и AD равны 10°, 40°, 120° и 190° соответственно. Угол A образован хордами AD и AB. Он опирается на дугу BCD, которая состоит из дуг BC и CD. $$\angle A = \frac{1}{2} (дуга BC + дуга CD) = \frac{1}{2}(40° + 120°) = \frac{1}{2}(160°) = 80°$$ Ответ: 80°