21. Точки А, В, С, D лежат на одной прямой, причём отрезки АВ и CD имеют общую середину. Докажите, что если треугольник АВЕ равнобедренный с основанием АВ, то треугольник CDE тоже равнобедренный с основанием CD (рис. 64).

Пусть точки A, B, C, D лежат на одной прямой, причём отрезки AB и CD имеют общую середину O. Треугольник ABE равнобедренный с основанием AB. Нужно доказать, что треугольник CDE равнобедренный с основанием CD.

Так как треугольник ABE равнобедренный с основанием AB, то AE = BE и углы EAB и EBA равны.

Так как O — середина отрезков AB и CD, то AO = BO и CO = DO.

Угол AOE равен углу DOE как вертикальные. Угол BOE равен углу COE как вертикальные.

Рассмотрим треугольники AOE и BOE. AO = BO, AE = BE, EO — общая сторона. Следовательно, эти треугольники равны по трем сторонам. Значит, угол AOE равен углу BOE.

Аналогично, треугольники COE и DOE равны по трем сторонам. CO = DO, EO — общая сторона, углы COE и DOE равны.

Отсюда следует, что DE = CE, а углы CDE и DCE равны. Значит, треугольник CDE равнобедренный с основанием CD.

Ответ: доказано