Точка 5 удалена от каждой из вершин правильного треугольника АВС на √13 двугранный угол SABC, если АВ = 6 см.

Решение:

Пусть S удалена от каждой вершины правильного треугольника ABC на \(\sqrt{13}\) см, \(AB = 6\) см. Нужно найти двугранный угол SABC.

1. Так как S равноудалена от всех вершин треугольника ABC, то основание высоты SO, опущенной из точки S на плоскость ABC, является центром описанной окружности этого треугольника.

2. В правильном треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписанной окружности и точкой пересечения медиан.

3. Найдем радиус описанной окружности R для правильного треугольника со стороной \(a = 6\) см:

\[R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\]

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA. По теореме Пифагора:

\[SA^2 = SO^2 + OA^2\]

\[(\sqrt{13})^2 = SO^2 + (2\sqrt{3})^2\]

\[13 = SO^2 + 12\]

\[SO^2 = 1\]

\[SO = 1\]

5. Пусть SD - высота треугольника SBC, тогда SD перпендикулярна BC. Аналогично, AD - высота треугольника ABC, и AD перпендикулярна BC. Следовательно, угол SDA - линейный угол двугранного угла SABC.

6. В правильном треугольнике ABC высота AD является также медианой и биссектрисой. Найдем AD:

\[AD = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\]

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOD. Так как SO перпендикулярна плоскости ABC, то угол SDO - прямой.

8. Найдем OD. Так как AD - медиана, то \(OD = \frac{1}{3}AD = \frac{1}{3}(3\sqrt{3}) = \sqrt{3}\).

9. Рассмотрим треугольник SOD. \(\angle SDO = 90^\circ\). Найдем угол SDA, который является линейным углом двугранного угла SABC, обозначим его как \(\alpha\):

\[\tan(\alpha) = \frac{SO}{OD} = \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Следовательно, \(\alpha = \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 30^\circ\).

Двугранный угол SABC равен 30°.