3. Из точки А, не лежащей в плоскости α, проведены к этой плоскости две равные наклонные АС и АВ, угол между ними равен 60°. Угол между их проекциями – прямой. Найдите угол между каждой наклонной и плоскостью.

Решение:

1. Обозначим проекции наклонных AC и AB как C' и B' соответственно. Тогда углы \(\angle AC'A\) и \(\angle AB'A\) - искомые углы между наклонными и плоскостью α.

2. Поскольку AC = AB и угол между проекциями C'AB' прямой (90°), рассмотрим треугольник ABC. Так как угол между AC и AB равен 60°, треугольник ABC равносторонний.

3. Пусть AC = AB = a. Тогда проекции AC' и AB' равны между собой и образуют прямоугольный треугольник AC'B'.

4. Пусть AC' = AB' = x. Тогда по теореме Пифагора \(x^2 + x^2 = a^2\), откуда \(2x^2 = a^2\) и \(x = \frac{a}{\sqrt{2}}\).

5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACA', где AA' - перпендикуляр к плоскости α. \(\sin(\angle AC'A) = \frac{AA'}{AC}\). Также рассмотрим прямоугольный треугольник ABA', где \(\sin(\angle AB'A) = \frac{AA'}{AB}\).

6. Так как AC = AB, то углы \(\angle AC'A = \angle AB'A\). Обозначим этот угол как \(\theta\). Тогда \(\cos(\theta) = \frac{AC'}{AC} = \frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

7. Значит, \(\theta = 45^\circ\).