4. Отрезок КА — перпендикуляр к плоскости треугольника АВС, КВ перпендикулярно ВС. Найдите КА, если АС = 13 см, ВС = 5 см, «КВА = 45°.

Решение:

1. Так как KA перпендикулярно плоскости треугольника ABC, то \(\angle KAB = 90^\circ\). Также KB перпендикулярно BC.

2. Рассмотрим треугольник ABC. По теореме косинусов найдем AB:

   \[AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB).\]

3. Так как KB перпендикулярно BC, то \(\angle KBC = 90^\circ\). Рассмотрим треугольник KBA, где \(\angle KBA = 45^\circ\). Значит, треугольник KBA - прямоугольный и равнобедренный (так как \(\angle KAB = 90^\circ\)). Отсюда KA = AB.

4. Рассмотрим треугольник ABC. Так как KB \(\perp\) BC, то \(\angle ABC\) — прямой. По теореме Пифагора \(AB^2 + BC^2 = AC^2\).

5. Подставляем значения \(AC = 13\) см, \(BC = 5\) см:

   \[AB^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144.\]

   Значит, \(AB = \sqrt{144} = 12\) см.

6. Так как KA = AB, то KA = 12 см.