1. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Найдите диагональ параллелепипеда, если его измерения таковы: 3 см, 2 см, 5 см. Постройте общий перпендикуляр скрещивающихся прямых: а) А1В1 и D1D; б) АВ и С1С; B*) B1D и А1А.

Разбираемся:

1. Найдём диагональ параллелепипеда:

   Диагональ прямоугольного параллелепипеда можно найти по формуле:

   \[d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2},\]

   где a, b, и c – измерения параллелепипеда.

   Подставляем значения:

   \[d = \sqrt{3^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 4 + 25} = \sqrt{38}.\]

   Диагональ параллелепипеда равна \(\sqrt{38}\) см.

2. Построим общий перпендикуляр для скрещивающихся прямых:

   а) Для прямых \(A_1B_1\) и \(D_1D\) общим перпендикуляром является отрезок \(A_1D_1\), так как \(A_1D_1 \perp A_1B_1\) и \(A_1D_1 \perp D_1D\).

   б) Для прямых \(AB\) и \(C_1C\) общим перпендикуляром является отрезок \(BC\), так как \(BC \perp AB\) и \(BC \perp C_1C\).

   в) Для прямых \(B_1D\) и \(A_1A\) общим перпендикуляром является отрезок, соединяющий основания перпендикуляров, опущенных из точек \(B_1\) и \(D\) на прямую \(A_1A\). Так как прямые скрещивающиеся, этот отрезок будет перпендикулярен обеим прямым.