5. Точка Ѕ удалена от каждой из вершин правильного треугольника АВС на √13 см. Найдите двугранный угол SABC, если АВ = 6 см.

Решение:

1. Опустим перпендикуляр SO из точки S на плоскость ABC. Так как SA = SB = SC, то точка O является центром описанной окружности треугольника ABC.

2. Найдем радиус описанной окружности правильного треугольника ABC: \(R = \frac{a}{\sqrt{3}}\) , где a - сторона треугольника. В нашем случае \(a = 6\) см, следовательно, \(R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\) см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOA. По теореме Пифагора \(SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{13 - 12} = 1\) см.

4. Опустим перпендикуляр OD на сторону AB. Так как треугольник ABC правильный, точка D - середина AB, и OD - апофема треугольника ABC. \(OD = \frac{1}{2} R = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3}\) см.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник SOD. Угол \(\angle SDO\) - линейный угол двугранного угла SABC. \(\tan(\angle SDO) = \frac{SO}{OD} = \frac{1}{\sqrt{3}}\), следовательно, \(\angle SDO = 30^\circ\).

6. Таким образом, двугранный угол SABC равен 30°.