19. Тип 17 № 12021 Задумали трёхзначное число, которое делится на 37 и последняя цифра которого в 2 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась больше 300. Какое число было задумано?

Пусть задуманное число равно $$100a + 10b + c$$, где a, b, c - цифры от 0 до 9, и a ≠ 0.

По условию, $$c = \frac{a}{2}$$, то есть a - четное число, отличное от нуля. Возможные значения a: 2, 4, 6, 8. Соответствующие значения c: 1, 2, 3, 4.

Тогда число можно записать как $$100a + 10b + \frac{a}{2}$$. Это число делится на 37.

Число, записанное в обратном порядке: $$100c + 10b + a = 100\frac{a}{2} + 10b + a = 50a + 10b + a = 51a + 10b$$

Разность между исходным числом и числом, записанным в обратном порядке: $$(100a + 10b + \frac{a}{2}) - (51a + 10b) = 100a + 10b + \frac{a}{2} - 51a - 10b = 49a + \frac{a}{2} = \frac{98a + a}{2} = \frac{99a}{2}$$

По условию, разность больше 300: $$\frac{99a}{2} > 300$$

$$99a > 600$$

$$a > \frac{600}{99} \approx 6.06$$

Значит, a может быть равно 8, тогда c = 4.

Число имеет вид 8b4 и делится на 37. Проверим варианты для b:

• 804 / 37 ≈ 21.73 (не делится)
• 814 / 37 ≈ 22.00 (не делится)
• 824 / 37 ≈ 22.27 (не делится)
• 834 / 37 ≈ 22.54 (не делится)
• 844 / 37 ≈ 22.81 (не делится)
• 854 / 37 ≈ 23.08 (не делится)
• 864 / 37 ≈ 23.35 (не делится)
• 874 / 37 ≈ 23.62 (не делится)
• 884 / 37 = 23.89 (не делится)
• 894 / 37 = 24.16 (не делится)

Проверим делимость на 37 числа 703. Разность, больше 300.$$a > \frac{600}{99} \approx 6.06$$

$$a > \frac{600}{99} \approx 6.06$$

Проверим делимость на 37 числа 703.

703 =37*19

разность = 703 -307 =396 >300

Ответ: 703