Сумма двух натуральных чисел равна 80, а их наибольший общий делитель равен 16. Найдите эти числа. Запишите решение и ответ.

Решение:

Пусть два натуральных числа будут \(x\) и \(y\). Известно, что их сумма равна 80: \(x + y = 80\).

Также известно, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 16. Это значит, что оба числа можно представить в виде: \(x = 16a\) и \(y = 16b\), где \(a\) и \(b\) — взаимно простые натуральные числа.

Подставим эти выражения в уравнение суммы:

\(16a + 16b = 80\)

Разделим обе части уравнения на 16:

\(a + b = 5\)

Теперь найдем пары взаимно простых натуральных чисел \(a\) и \(b\), сумма которых равна 5:

• Если \(a = 1\), то \(b = 5 - 1 = 4\). Числа 1 и 4 взаимно просты.
• Если \(a = 2\), то \(b = 5 - 2 = 3\). Числа 2 и 3 взаимно просты.
• Если \(a = 3\), то \(b = 5 - 3 = 2\). Это та же пара, что и предыдущая.
• Если \(a = 4\), то \(b = 5 - 4 = 1\). Это также та же пара, что и первая.

Теперь найдем сами числа \(x\) и \(y\) для каждой пары \(a\) и \(b\):

• Пара (1; 4): \(x = 16 \cdot 1 = 16\), \(y = 16 \cdot 4 = 64\). Проверка: \(16 + 64 = 80\). НОД(16, 64) = 16.
• Пара (2; 3): \(x = 16 \cdot 2 = 32\), \(y = 16 \cdot 3 = 48\). Проверка: \(32 + 48 = 80\). НОД(32, 48) = 16.

Таким образом, существует две пары чисел, удовлетворяющих условию.

Ответ: 16 и 64, или 32 и 48.