Сколько различных прямоугольников можно найти на рисунке, составленном из 12 одинаковых квадратиков, расположенных в три ряда по четыре квадратика в каждом? Запишите решение и ответ.

Решение:

Представим рисунок как сетку из 3 рядов (горизонтальных линий) и 4 столбцов (вертикальных линий). Чтобы найти количество прямоугольников, нам нужно выбрать две различные горизонтальные линии и две различные вертикальные линии. Пересечение этих линий образует прямоугольник.

1. Количество горизонтальных линий:

В сетке 3 ряда квадратиков. Это значит, что у нас есть \(3 + 1 = 4\) горизонтальные линии (включая верхнюю и нижнюю границы).

2. Количество вертикальных линий:

В сетке 4 столбца квадратиков. Это значит, что у нас есть \(4 + 1 = 5\) вертикальные линии (включая левую и правую границы).

3. Выбор горизонтальных линий:

Нам нужно выбрать 2 горизонтальные линии из 4. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из 4 по 2:

\(C^2_4 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{(4 \cdot 3)}{(2 \cdot 1)} = 6\) способов.

4. Выбор вертикальных линий:

Нам нужно выбрать 2 вертикальные линии из 5. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из 5 по 2:

\(C^2_5 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{(5 \cdot 4)}{(2 \cdot 1)} = 10\) способов.

5. Общее количество прямоугольников:

Чтобы найти общее количество различных прямоугольников, нужно перемножить количество способов выбора горизонтальных линий и количество способов выбора вертикальных линий:

\(\text{Общее количество прямоугольников} = C^2_4 \cdot C^2_5 = 6 \cdot 10 = 60\).

Ответ: На рисунке можно найти 60 различных прямоугольников.