2. Сторона правильного треугольника 6√3 . Найдите: Площадь треугольника; Площадь описанного вокруг треугольника круга; Длину вписанной в треугольник окружности.

2. Дано: правильный треугольник, сторона $$a = 6\sqrt{3}$$.

Найти: площадь треугольника, площадь описанного круга, длину вписанной окружности.

Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле:

$$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

Подставим значение стороны:

$$S = \frac{(6\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 9 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} = 27\sqrt{3}$$

Площадь треугольника $$S = 27\sqrt{3}$$

Радиус описанной окружности вокруг правильного треугольника:

$$R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{6 \cdot 3}{3} = 6$$

Площадь описанного круга:

$$S_{кр} = \pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi$$

Площадь описанного круга равна $$36\pi$$.

Радиус вписанной окружности в правильный треугольник:

$$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{6 \cdot 3}{6} = 3$$

Длина вписанной окружности:

$$C = 2\pi r = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$$

Длина вписанной окружности равна $$6\pi$$.

Ответ: Площадь треугольника $$27\sqrt{3}$$, площадь описанного круга $$36\pi$$, длина вписанной окружности $$6\pi$$.