Сравните числа 2 и 3√3-2√2.

Решение:

Сравним \( 2 \) и \( 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \). Для удобства сравнения возведём оба числа в квадрат.

Квадрат первого числа:

\( 2^2 = 4 \).

Квадрат второго числа:

\( (3\sqrt{3} - 2\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{3})^2 - 2 · 3\sqrt{3} · 2\sqrt{2} + (2\sqrt{2})^2 \)

\( = (9 \times 3) - 12\sqrt{6} + (4 \times 2) \)

\( = 27 - 12\sqrt{6} + 8 \)

\( = 35 - 12\sqrt{6} \).

Теперь сравним \( 4 \) и \( 35 - 12\sqrt{6} \).

Перенесём 4 в правую часть:

\( 35 - 12\sqrt{6} - 4 = 31 - 12\sqrt{6} \).

Чтобы определить знак этого выражения, сравним \( 31 \) и \( 12\sqrt{6} \). Возведём оба в квадрат:

\( 31^2 = 961 \)

\( (12\sqrt{6})^2 = 144 \times 6 = 864 \).

Так как \( 961 > 864 \), то \( 31 > 12\sqrt{6} \).

Значит, \( 31 - 12\sqrt{6} > 0 \), следовательно, \( 35 - 12\sqrt{6} > 4 \).

Это означает, что \( (3\sqrt{3} - 2\sqrt{2})^2 > 2^2 \).

Так как оба исходных числа положительны (\( 3\sqrt{3} \approx 3 \times 1.732 = 5.196 \), \( 2\sqrt{2} \approx 2 \times 1.414 = 2.828 \), \( 5.196 - 2.828 > 0 \)), то \( 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} > 2 \).

Ответ: \( 2 < 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2} \).