Расположите числа 125⁸⁰, 26¹²⁰, 9¹⁸⁰ в порядке убывания.

Решение:

Приведём основания степеней к одному виду или приведём показатели степеней к одному виду.

1. Заметим, что \( 125 = 5^3 \) и \( 9 = 3^2 \).
2. Преобразуем числа:
• \( 125^{80} = (5^3)^{80} = 5^{3 \times 80} = 5^{240} \)
• \( 26^{120} \)
• \( 9^{180} = (3^2)^{180} = 3^{2 \times 180} = 3^{360} \)
3. Теперь приведём показатели степеней к общему кратному, например, к 240.
• \( 125^{80} = 5^{240} \)
• \( 26^{120} = (26^2)^{60} = 676^{60} \)
• \( 9^{180} = (9^{1.5})^{120} \) — это неудобно.
4. Попробуем привести показатели к общему множителю 60:
• \( 125^{80} = 125^{2 \times 40} = (125^2)^{40} = 15625^{40} \)
• \( 26^{120} = (26^2)^{60} = 676^{60} \)
• \( 9^{180} = (9^3)^{60} = 729^{60} \)
5. Сравниваем основания: \( 15625 > 729 \) и \( 676 \).
6. Следовательно, \( 15625^{40} \) — наибольшее.
7. Теперь сравним \( 676^{60} \) и \( 729^{60} \). Так как \( 729 > 676 \), то \( 729^{60} > 676^{60} \).
8. Итак, порядок убывания: \( 125^{80} \), \( 9^{180} \), \( 26^{120} \).

Ответ: \( 125^{80}, 9^{180}, 26^{120} \).