Solve the system of equations: $$ \begin{cases} \frac{3x - 10}{5} - \frac{2x - 2y}{3} = \frac{3x + 4}{15} \\ \frac{5x - 34}{12} + \frac{3y + 4}{2} = \frac{5y}{3} \end{cases} $$

Решение:

1. Упростим первое уравнение, умножив его на 15 (наименьший общий знаменатель):
   • \[ 15 \left( \frac{3x - 10}{5} - \frac{2x - 2y}{3} \right) = 15 \left( \frac{3x + 4}{15} \right) \]
   • \[ 3(3x - 10) - 5(2x - 2y) = 3x + 4 \]
   • \[ 9x - 30 - 10x + 10y = 3x + 4 \]
   • \[ -x + 10y - 30 = 3x + 4 \]
   • \[ -4x + 10y = 34 \]
   • \[ -2x + 5y = 17 \]
2. Упростим второе уравнение, умножив его на 12 (наименьший общий знаменатель):
   • \[ 12 \left( \frac{5x - 34}{12} + \frac{3y + 4}{2} \right) = 12 \left( \frac{5y}{3} \right) \]
   • \[ (5x - 34) + 6(3y + 4) = 4(5y) \]
   • \[ 5x - 34 + 18y + 24 = 20y \]
   • \[ 5x + 18y - 10 = 20y \]
   • \[ 5x - 2y = 10 \]
3. Теперь у нас есть система:
   • \[ \begin{cases} -2x + 5y = 17 \\ 5x - 2y = 10 \end{cases} \]
4. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 2, чтобы коэффициенты при x стали противоположными:
   • \[ (-2x + 5y = 17) \cdot 5 \implies -10x + 25y = 85 \]
   • \[ (5x - 2y = 10) \cdot 2 \implies 10x - 4y = 20 \]
5. Сложим полученные уравнения:
   • \[ (-10x + 25y) + (10x - 4y) = 85 + 20 \]
   • \[ 21y = 105 \]
   • \[ y = \frac{105}{21} = 5 \]
6. Подставим значение y = 5 во второе уравнение (5x - 2y = 10):
   • \[ 5x - 2(5) = 10 \]
   • \[ 5x - 10 = 10 \]
   • \[ 5x = 20 \]
   • \[ x = 4 \]

Ответ: x = 4, y = 5