8. Sin²x+2sinx=3

8. Решить уравнение: $$sin^2x + 2sinx = 3$$

Решение:

Перенесем 3 в левую часть уравнения:

$$sin^2x + 2sinx - 3 = 0$$

Сделаем замену: $$t = sinx$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 + 2t - 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Вернемся к замене:

1) $$sinx = 1$$

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$$

2) $$sinx = -3$$

Так как $$-1 \le sinx \le 1$$, то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$$