С1. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а её периметр равен 52. Найдите площадь трапеции

Привет! Давай найдем площадь этой равнобедренной трапеции.

Что нам дано:

• Основания трапеции: $$a = 8$$ см, $$b = 18$$ см.
• Периметр трапеции: $$P = 52$$ см.
• Трапеция равнобедренная, значит, боковые стороны равны ($$c = d$$).

Что нужно найти:

• Площадь трапеции ($$S$$).

Шаг 1: Находим боковую сторону.

Периметр трапеции – это сумма всех ее сторон: $$P = a + b + c + d$$.

Так как трапеция равнобедренная, $$c = d$$, поэтому $$P = a + b + 2c$$.

Подставим известные значения:

\[ 52 = 8 + 18 + 2c \]

\[ 52 = 26 + 2c \]

Теперь найдем $$2c$$:

\[ 2c = 52 - 26 \]

\[ 2c = 26 \]

Найдем длину одной боковой стороны:

\[ c = \frac{26}{2} = 13 \] см

Шаг 2: Находим высоту трапеции.

Чтобы найти площадь, нам нужна высота. В равнобедренной трапеции, если опустить высоты из концов меньшего основания на большее, мы получим два прямоугольных треугольника по краям и прямоугольник посередине.

Разность длин оснований равна $$18 - 8 = 10$$ см. Эта разность делится поровну между двумя отрезками у оснований боковых сторон. Значит, каждый такой отрезок равен $$10 / 2 = 5$$ см.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где:

• Гипотенуза (боковая сторона) = 13 см.
• Один катет (отрезок у основания) = 5 см.
• Второй катет – это высота трапеции ($$h$$).

Используем теорему Пифагора ($$h^2 + 5^2 = 13^2$$):

\[ h^2 + 25 = 169 \]

\[ h^2 = 169 - 25 \]

\[ h^2 = 144 \]

\[ h = \sqrt{144} = 12 \] см

Шаг 3: Находим площадь трапеции.

Формула площади трапеции:

\[ S = \frac{a + b}{2} \times h \]

Подставляем наши значения:

\[ S = \frac{8 + 18}{2} \times 12 \]

\[ S = \frac{26}{2} \times 12 \]

\[ S = 13 \times 12 \]

\[ S = 156 \] см²

Ответ: 156 см²