С1. В равнобедренном треугольнике точка Е - середина основания АС, а точка К делит сторону ВС в отношении 2:5, считая от вершины С. Найдите отношение, в котором прямая ВЕ делит отрезок АК.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, E - середина AC, K лежит на BC, причем CK : KB = 2 : 5.

Нужно найти отношение, в котором BE делит отрезок AK, то есть найти AO : OK, где O - точка пересечения BE и AK.

Пусть $$\vec{AB} = \vec{b}$$, $$\vec{AC} = \vec{c}$$. Тогда $$\vec{AE} = \frac{1}{2} \vec{c}$$.

$$\vec{AK} = \vec{AC} + \vec{CK} = \vec{c} + \frac{2}{7} \vec{CB} = \vec{c} + \frac{2}{7} (\vec{AB} - \vec{AC}) = \vec{c} + \frac{2}{7} (\vec{b} - \vec{c}) = \frac{2}{7} \vec{b} + \frac{5}{7} \vec{c}$$.

Так как точка O лежит на BE, то $$\vec{AO} = (1 - x) \vec{AB} + x \vec{AE} = (1 - x) \vec{b} + \frac{x}{2} \vec{c}$$.

Также, так как точка O лежит на AK, то $$\vec{AO} = y \vec{AK} = y (\frac{2}{7} \vec{b} + \frac{5}{7} \vec{c}) = \frac{2y}{7} \vec{b} + \frac{5y}{7} \vec{c}$$.

Приравниваем коэффициенты при векторах $$\vec{b}$$ и $$\vec{c}$$:

$$1 - x = \frac{2y}{7}$$, $$\frac{x}{2} = \frac{5y}{7}$$.

Из второго уравнения $$x = \frac{10y}{7}$$.

Подставим в первое:

$$1 - \frac{10y}{7} = \frac{2y}{7}$$.

$$1 = \frac{12y}{7}$$.

$$y = \frac{7}{12}$$.

Тогда $$\vec{AO} = \frac{7}{12} \vec{AK}$$. Следовательно, AO : AK = 7 : 12, OK : AK = 5 : 12, и AO : OK = 7 : 5.

Ответ: 7:5