АЗ. Периметры подобных треугольников относятся как 2:3, сумма их площадей равна 260 см². Чему равна пло- щадь меньшего треугольника? 1) 80 см² 2) 180 см² 3) 104 см² 4) 156 см²

Пусть $$P_1$$ и $$P_2$$ - периметры подобных треугольников, а $$S_1$$ и $$S_2$$ - их площади. Дано, что $$\frac{P_1}{P_2} = \frac{2}{3}$$ и $$S_1 + S_2 = 260 \text{ см}^2$$. Нужно найти площадь меньшего треугольника.

• Отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон: $$\frac{P_1}{P_2} = \frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}$$.
• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон: $$\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$.
• Выразим $$S_1$$ через $$S_2$$: $$S_1 = \frac{4}{9}S_2$$.
• Подставим это выражение в уравнение для суммы площадей: $$\frac{4}{9}S_2 + S_2 = 260$$.
• Приведем к общему знаменателю: $$\frac{4S_2 + 9S_2}{9} = 260$$.
• $$13S_2 = 260 \cdot 9$$.
• $$S_2 = \frac{260 \cdot 9}{13} = 20 \cdot 9 = 180 \text{ см}^2$$.
• Тогда $$S_1 = 260 - S_2 = 260 - 180 = 80 \text{ см}^2$$.
• Меньшая площадь равна 80 см².

Ответ: 1) 80 см²