3. Решите уравнения: a) log 3 (4x-1) = 1; 6) log2(x + 3) + log2(x - 3) = 2 + log 2 (2,5x + 11,75).

Ответ:

Ответ: a) \(x = 1\); b) \(x = 5\)

a) Решение уравнения \(\log_3 (4x-1) = 1\)

1. Преобразуем уравнение: \[4x - 1 = 3^1\]
2. Решаем полученное уравнение: \[4x = 4\] \[x = 1\]

б) Решение уравнения \(\log_2(x + 3) + \log_2(x - 3) = 2 + \log_2 (2.5x + 11.75)\)

1. Преобразуем уравнение: \[\log_2((x + 3)(x - 3)) = \log_2(4) + \log_2 (2.5x + 11.75)\]
2. Объединяем логарифмы: \[\log_2(x^2 - 9) = \log_2(4(2.5x + 11.75))\]
3. Упрощаем уравнение: \[x^2 - 9 = 10x + 47\]
4. Приводим к квадратному уравнению: \[x^2 - 10x - 56 = 0\]
5. Решаем квадратное уравнение: \[D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 100 + 224 = 324\] \[x_1 = \frac{10 + \sqrt{324}}{2} = \frac{10 + 18}{2} = 14\] \[x_2 = \frac{10 - \sqrt{324}}{2} = \frac{10 - 18}{2} = -4\]
6. Проверяем корни на допустимость:
   • Для \(x = 14\): \(x + 3 > 0\), \(x - 3 > 0\), \(2.5x + 11.75 > 0\). Подходит.
   • Для \(x = -4\): \(x + 3 < 0\). Не подходит.
7. Проверяем корень x=14:
   • \(\log_2(14+3) + \log_2(14-3) = \log_2(17) + \log_2(11) = \log_2(187)\)
   • \(2 + \log_2(2.5 \cdot 14 + 11.75) = 2 + \log_2(35 + 11.75) = 2 + \log_2(46.75) = \log_2(4) + \log_2(46.75) = \log_2(187)\)
8. Вывод: \[\log_2(187) = \log_2(187)\]

Ответ: a) \(x = 1\); b) \(x = 14\)