4. Решите неравенства: a) log 2 (2x - 7) ≤ 3; 6) log₁ (10-x)+log (x-3) ≥ −1.

Ответ:

a) \(3.5 < x \le \frac{15}{2}\) б) \(3 < x \le 6\)

Ответ: a) \(3.5 < x \le \frac{15}{2}\); б) \(3 < x \le 6\)

а) Решение неравенства \(\log_2 (2x - 7) \le 3\)

1. Преобразуем неравенство: \[2x - 7 \le 2^3\]
2. Упрощаем: \[2x - 7 \le 8\]
3. Решаем неравенство: \[2x \le 15\] \[x \le \frac{15}{2}\]
4. Ограничение: \[2x - 7 > 0\] \[2x > 7\] \[x > \frac{7}{2}\]
5. Итоговое решение: \[\frac{7}{2} < x \le \frac{15}{2}\]

б) Решение неравенства \(\log_{\frac{1}{6}} (10-x) + \log_{\frac{1}{6}} (x-3) \ge -1\)

1. Преобразуем неравенство: \[\log_{\frac{1}{6}} ((10-x)(x-3)) \ge -1\]
2. Упрощаем: \[(10-x)(x-3) \le (\frac{1}{6})^{-1}\] \[(10-x)(x-3) \le 6\]
3. Раскрываем скобки: \[10x - 30 - x^2 + 3x \le 6\] \[-x^2 + 13x - 30 \le 6\] \[-x^2 + 13x - 36 \le 0\] \[x^2 - 13x + 36 \ge 0\]
4. Решаем квадратное неравенство: \[D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\] \[x_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2} = \frac{13 + 5}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2} = \frac{13 - 5}{2} = 4\]
5. Итоговое решение: \[x \in (-\infty; 4] \cup [9; +\infty)\]
6. Ограничение: \[x-3>0\] \[x>3\]
7. Ограничение: \[10-x>0\] \[x<10\]
8. Итоговое решение: \[3 < x \le 4 \cup 9 \le x <10\]

Ответ: a) \(3.5 < x \le \frac{15}{2}\); б) \(3 < x \le 4 \cup 9 \le x <10\)