5. Решите уравнения: 1) cos(x + π/4)=0 2) 2sinx/2 - √3 = 0 3) (2cos2x - √2). (2sinx + 3) = 0 4) sin (2x+ π/3) = 0 5) 2cos3 x-√2 = 0 6) (2sin x/3 - √3). (3cosx - 4) = 0 7) cos 5x cosx = sin 5x sinx+1;

1)

$$cos(x + \frac{\pi}{4}) = 0$$

$$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$$

$$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$$

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in Z$$

2)

$$2sin(\frac{x}{2}) - \sqrt{3} = 0$$

$$2sin(\frac{x}{2}) = \sqrt{3}$$

$$sin(\frac{x}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\frac{x}{2} = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z$$

$$x = (-1)^k \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$$

Ответ: $$x = (-1)^k \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in Z$$

3)

$$(2cos2x - \sqrt{2}) \times (2sinx + 3) = 0$$

Разбиваем на два уравнения:

$$2cos2x - \sqrt{2} = 0$$

$$cos2x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$2x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$$

$$x = \pm \frac{\pi}{8} + \pi k, k \in Z$$

$$2sinx + 3 = 0$$

$$sinx = -\frac{3}{2}$$, что невозможно, так как $$|sinx| \le 1$$.

Ответ: $$x = \pm \frac{\pi}{8} + \pi k, k \in Z$$

4)

$$sin(2x + \frac{\pi}{3}) = 0$$

$$2x + \frac{\pi}{3} = \pi k, k \in Z$$

$$2x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z$$

$$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$$

Ответ: $$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in Z$$

5)

$$2cos(\frac{x}{3}) - \sqrt{2} = 0$$

$$cos(\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z$$

$$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 6\pi k, k \in Z$$

Ответ: $$x = \pm \frac{3\pi}{4} + 6\pi k, k \in Z$$

6)

$$(2sin(\frac{x}{3}) - \sqrt{3}) \times (3cosx - 4) = 0$$

Разбиваем на два уравнения:

$$2sin(\frac{x}{3}) - \sqrt{3} = 0$$

$$sin(\frac{x}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\frac{x}{3} = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z$$

$$x = (-1)^k \pi + 3\pi k, k \in Z$$

$$3cosx - 4 = 0$$

$$cosx = \frac{4}{3}$$, что невозможно, так как $$|cosx| \le 1$$.

Ответ: $$x = (-1)^k \pi + 3\pi k, k \in Z$$

7)

$$cos(5x)cos(x) = sin(5x)sin(x) + 1$$

$$cos(5x)cos(x) - sin(5x)sin(x) = 1$$

Используем формулу косинуса суммы: $$cos(\alpha + \beta) = cos(\alpha)cos(\beta) - sin(\alpha)sin(\beta)$$.

Тогда уравнение примет вид:

$$cos(5x + x) = 1$$

$$cos(6x) = 1$$

$$6x = 2\pi k, k \in Z$$

$$x = \frac{\pi k}{3}, k \in Z$$

Ответ: $$x = \frac{\pi k}{3}, k \in Z$$