Решите уравнение lg x + log√2 x = 14.

Решим уравнение \(\lg_8 x + \log_{\sqrt{2}} x = 14\). Используем свойство перехода к другому основанию логарифма: \(\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\). Перейдём к основанию 2: \(\log_8 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 8} = \frac{\log_2 x}{3}\) \(\log_{\sqrt{2}} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 \sqrt{2}} = \frac{\log_2 x}{\frac{1}{2}} = 2\log_2 x\) Тогда уравнение примет вид: \(\frac{\log_2 x}{3} + 2\log_2 x = 14\) Умножим обе части на 3: \(\log_2 x + 6\log_2 x = 42\) \(7\log_2 x = 42\) \(\log_2 x = 6\) \(x = 2^6\) \(x = 64\) Проверим: \(\log_8 64 + \log_{\sqrt{2}} 64 = \log_8 8^2 + \log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2})^{12} = 2 + 12 = 14\)

Ответ: x = 64