Решите уравнение: \( |x + y - 5| + x^2 - 6xy + 9y^2 = 0 \)

Решение уравнения:

Заметим, что выражение \( x^2 - 6xy + 9y^2 \) является полным квадратом разности: \( (x - 3y)^2 \).

Уравнение принимает вид:

\( |x + y - 5| + (x - 3y)^2 = 0 \)

Сумма двух неотрицательных слагаемых (модуля и квадрата) равна нулю только тогда, когда оба слагаемых равны нулю одновременно:

\( \begin{cases} |x + y - 5| = 0 \\ (x - 3y)^2 = 0 \end{cases} \)

Из второго уравнения получаем:

\( x - 3y = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = 3y \)

Подставим \( x = 3y \) в первое уравнение:

\( |3y + y - 5| = 0 \)

\( |4y - 5| = 0 \)

\( 4y - 5 = 0 \)

\( 4y = 5 \)

\( y = \frac{5}{4} = 1,25 \)

Теперь найдём \( x \):

\( x = 3y = 3 ⋅ 1,25 = 3,75 \)

Ответ: \( x = 3,75; y = 1,25 \).