Решите уравнение: \( 7 - x + |x| ⋅ x = 7|x| \)

Решение уравнения:

Рассмотрим два случая в зависимости от знака \( x \).

Случай 1: \( x ≥ 0 \)

В этом случае \( |x| = x \). Уравнение принимает вид:

\( 7 - x + x ⋅ x = 7x \)

\( 7 - x + x^2 = 7x \)

\( x^2 - 8x + 7 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-8)^2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 7 = 64 - 28 = 36 \).

\( x_1 = \frac{8 + √{36}}{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7 \)

\( x_2 = \frac{8 - √{36}}{2} = \frac{8 - 6}{2} = 1 \)

Оба корня \( x = 7 \) и \( x = 1 \) удовлетворяют условию \( x ≥ 0 \).

Случай 2: \( x < 0 \)

В этом случае \( |x| = -x \). Уравнение принимает вид:

\( 7 - x + (-x) ⋅ x = 7(-x) \)

\( 7 - x - x^2 = -7x \)

\( -x^2 + 6x + 7 = 0 \)

\( x^2 - 6x - 7 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-6)^2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (-7) = 36 + 28 = 64 \).

\( x_1 = \frac{6 + √{64}}{2} = \frac{6 + 8}{2} = 7 \)

\( x_2 = \frac{6 - √{64}}{2} = \frac{6 - 8}{2} = -1 \)

Проверяем условие \( x < 0 \). Корень \( x = 7 \) не удовлетворяет условию. Корень \( x = -1 \) удовлетворяет условию.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем корни: \( x = 7, x = 1, x = -1 \).

Ответ: \( x = 7, x = 1, x = -1 \).