Решите уравнение \( x^6 = (6x - 5)^3 \). В ответ запишите сумму найденных корней.

Решение:

1. Запишем уравнение в виде: \( x^6 - (6x - 5)^3 = 0 \).
2. Заметим, что \( x^6 = (x^2)^3 \). Тогда уравнение можно переписать как:
\( (x^2)^3 - (6x - 5)^3 = 0 \)
3. Используем формулу разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \), где \( a = x^2 \) и \( b = 6x - 5 \).
4. \( (x^2 - (6x - 5))( (x^2)^2 + x^2(6x - 5) + (6x - 5)^2 ) = 0 \)
5. Упростим первое выражение в скобках:
\( x^2 - 6x + 5 = 0 \)
6. Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-6)^2 - 4 · 1 · 5 = 36 - 20 = 16 \). \( \sqrt{D} = 4 \).
7. Корни первого уравнения:
\( x_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5 \)
\( x_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1 \)
8. Теперь рассмотрим второе выражение в скобках:
\( x^4 + x^2(6x - 5) + (6x - 5)^2 = 0 \)
\( x^4 + 6x^3 - 5x^2 + 36x^2 - 60x + 25 = 0 \)
\( x^4 + 6x^3 + 31x^2 - 60x + 25 = 0 \)
9. Попытаемся найти рациональные корни этого уравнения. Возможные рациональные корни: \( \pm 1, \pm 5, \pm 25 \).
10. Проверим \( x = 1 \): \( 1 + 6 + 31 - 60 + 25 = 63 - 60 = 3 \neq 0 \).
11. Проверим \( x = 5 \): \( 5^4 + 6 · 5^3 + 31 · 5^2 - 60 · 5 + 25 = 625 + 6 · 125 + 31 · 25 - 300 + 25 = 625 + 750 + 775 - 300 + 25 = 1875 \neq 0 \).
12. Рассмотрим теперь уравнение \( x^2 = 6x - 5 \), которое мы уже решили.
13. Вернемся к исходному уравнению \( x^6 = (6x - 5)^3 \). Это равносильно \( x^2 = 6x - 5 \) при условии, что \( x^2 \geq 0 \), что всегда верно для действительных \( x \).
14. Таким образом, корни уравнения \( x^2 = 6x - 5 \) являются корнями исходного уравнения.
15. Мы уже нашли корни \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = 1 \).
16. Сумма найденных корней: \( 5 + 1 = 6 \).

Ответ: 6.