Катер вышел из пункта А в 8:00, проплыл 30 км по течению реки до пункта Б, сделал остановку на 50 минут и вернулся обратно в пункт А в 13:00 того же дня. Найдите собственную скорость катера (в км/ч), если скорость течения реки составляет 3 км/ч.

Дано:

Расстояние от А до Б: \( S = 30 \) км.
Время отправления из А: 8:00.
Время прибытия в А: 13:00.
Время остановки: 50 минут.
Скорость течения реки: \( v_t = 3 \) км/ч.

Найти:

Собственная скорость катера \( v_c \) (км/ч).

Решение:

1. Найдем общее время в пути: \( T_{общее} = 13:00 - 8:00 = 5 \) часов.
2. Переведем время остановки в часы: \( T_{ост} = 50 \text{ минут} = \frac{50}{60} \text{ часа} = \frac{5}{6} \) часа.
3. Найдем время движения катера: \( T_{движения} = T_{общее} - T_{ост} = 5 - \frac{5}{6} = \frac{30 - 5}{6} = \frac{25}{6} \) часа.
4. Скорость катера по течению (из А в Б): \( v_{по} = v_c + v_t = v_c + 3 \) км/ч.
5. Скорость катера против течения (из Б в А): \( v_{против} = v_c - v_t = v_c - 3 \) км/ч.
6. Время движения по течению: \( T_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{30}{v_c + 3} \) часа.
7. Время движения против течения: \( T_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{30}{v_c - 3} \) часа.
8. Общее время движения равно сумме времени движения по течению и против течения:
\( T_{движения} = T_{по} + T_{против} \)
\( \frac{25}{6} = \frac{30}{v_c + 3} + \frac{30}{v_c - 3} \)
9. Приведем правую часть к общему знаменателю:
\( \frac{25}{6} = \frac{30(v_c - 3) + 30(v_c + 3)}{(v_c + 3)(v_c - 3)} \)
\( \frac{25}{6} = \frac{30v_c - 90 + 30v_c + 90}{v_c^2 - 9} \)
\( \frac{25}{6} = \frac{60v_c}{v_c^2 - 9} \)
10. Перемножим крест-накрест:
\( 25(v_c^2 - 9) = 6 · 60v_c \)
\( 25v_c^2 - 225 = 360v_c \)
11. Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\( 25v_c^2 - 360v_c - 225 = 0 \)
12. Разделим все на 5 для упрощения:
\( 5v_c^2 - 72v_c - 45 = 0 \)
13. Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-72)^2 - 4 · 5 · (-45) = 5184 + 900 = 6084 \).
14. \( \sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78 \).
15. Найдем корни:
\( v_{c1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 + 78}{2 · 5} = \frac{150}{10} = 15 \)
\( v_{c2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{72 - 78}{2 · 5} = \frac{-6}{10} = -0.6 \)
16. Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.
17. Проверим, что \( v_c > v_t \), т.е. \( 15 > 3 \), что верно.

Ответ: 15.