Решите уравнение $$x-5=\sqrt{7-x}$$.

Решение:

Для решения уравнения $$x-5=\sqrt{7-x}$$ необходимо учесть два условия:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $$7-x \ge 0$$, откуда $$x \le 7$$.
2. Правая часть уравнения (корень) неотрицательна, следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной: $$x-5 \ge 0$$, откуда $$x \ge 5$$.

Объединяя условия, получаем, что $$5 \le x \le 7$$.

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (x-5)^2 = (\sqrt{7-x})^2 \)

\( x^2 - 10x + 25 = 7 - x \)

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - 10x + x + 25 - 7 = 0 \)

\( x^2 - 9x + 18 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \)

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

Теперь проверим найденные корни на соответствие условию $$5 \le x \le 7$$.

• Корень $$x_1 = 6$$ удовлетворяет условию ($$5 \le 6 \le 7$$).
• Корень $$x_2 = 3$$ не удовлетворяет условию ($$3 < 5$$).

Таким образом, единственным решением является $$x=6$$.

Ответ: $$x=6$$.