Решите уравнение \(\frac{16}{x^2-16} + \frac{x}{x+4} = \frac{2}{x-4}\)

Решение:

Приведем уравнение к общему знаменателю. Общий знаменатель для \(x^2-16\), \(x+4\) и \(x-4\) равен \((x-4)(x+4) = x^2-16\).

\(\frac{16}{x^2-16} + \frac{x(x-4)}{(x+4)(x-4)} = \frac{2(x+4)}{(x-4)(x+4)}\)

\(\frac{16}{x^2-16} + \frac{x^2-4x}{x^2-16} = \frac{2x+8}{x^2-16}\)

Теперь, когда знаменатели одинаковы, можем приравнять числители:

\(16 + x^2 - 4x = 2x + 8\)

Перенесем все члены в одну сторону:

\(x^2 - 4x - 2x + 16 - 8 = 0\)

\(x^2 - 6x + 8 = 0\)

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4\).

\(x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6+2}{2} = 4\)

\(x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6-2}{2} = 2\)

Проверим, не обращают ли корни знаменатель в ноль. Знаменатель \(x^2-16\) равен нулю при \(x=4\) и \(x=-4\).

Корень \(x=4\) не подходит, так как при \(x=4\) знаменатель \(x^2-16\) обращается в ноль.

Корень \(x=2\) подходит.

Ответ: 2