Решите уравнение: (3x + 1)² - (x - 2)² = 0

Решение:

Данное уравнение можно решить двумя способами: раскрыв скобки или используя формулу разности квадратов.

Способ 1: Используя формулу разности квадратов

Формула разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b)

В нашем случае a = (3x + 1) и b = (x - 2).

1. Применим формулу: [(3x + 1) - (x - 2)][(3x + 1) + (x - 2)] = 0
2. Упростим выражения в каждой скобке:
3. Первая скобка: (3x + 1 - x + 2) = (2x + 3)
4. Вторая скобка: (3x + 1 + x - 2) = (4x - 1)
5. Получаем уравнение: (2x + 3)(4x - 1) = 0
6. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
7. 2x + 3 = 0 или 4x - 1 = 0
8. Решим каждое из этих уравнений:
9. 2x = -3 => x = -3/2
10. 4x = 1 => x = 1/4

Способ 2: Раскрыв скобки

1. Раскроем первую скобку: (3x + 1)² = (3x)² + 2(3x)(1) + 1² = 9x² + 6x + 1
2. Раскроем вторую скобку: (x - 2)² = x² - 2(x)(2) + 2² = x² - 4x + 4
3. Подставим в исходное уравнение: (9x² + 6x + 1) - (x² - 4x + 4) = 0
4. Раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй скобкой: 9x² + 6x + 1 - x² + 4x - 4 = 0
5. Сгруппируем подобные члены: (9x² - x²) + (6x + 4x) + (1 - 4) = 0
6. Упростим: 8x² + 10x - 3 = 0
7. Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
8. a = 8, b = 10, c = -3
9. D = b² - 4ac = 10² - 4(8)(-3) = 100 + 96 = 196
10. √D = √196 = 14
11. x₁ = (-b + √D) / 2a = (-10 + 14) / (2 * 8) = 4 / 16 = 1/4
12. x₂ = (-b - √D) / 2a = (-10 - 14) / (2 * 8) = -24 / 16 = -3/2

Оба способа дают одинаковые корни.

Ответ: x = 1/4, x = -3/2